1962 yılında Karaman'ın Ermenek ilçesinde doğdu. İstanbul Teknik Üniversitesi Maden Fakültesini bitirdi. 1986 yılında İngiltere Leeds Üniversitesi’nde Maden ve Yöneylem Araştırması alanında Yüksek Lisans Eğitimini tamamladı. 1995'de ABD’de Delaware Üniversitesi’nde Ekonomi alanında ikinci yüksek lisansını bitirdi.

DPT'de çeşitli görevlerde bulunduktan sonra Müsteşar Yardımcılığı görevine getirildi. 23. ve 24. Dönem Karaman Milletvekili seçildi. 25 Aralık 2013’te İzmir Büyükşehir Belediye Başkanlığına aday gösterilen Binali Yıldırım'ın yerine Ulaştırma, Denizcilik ve Haberleşme Bakanlığı'na atandı. 7 Mart 2015 tarihinde yasal zorunluluk sebebi ile görevini devretti.

25. Dönem'de Antalya Milletvekili seçilen Elvan, 26. Dönem'de Mersin Milletvekili olarak Başbakan Yardımcılığı görevine getirilmiştir. 65. Hükümet Başbakanı Binali Yıldırım'ın açıkladığı listede Kalkınma Bakanı görevine getirilmiştir.

Evli ve iki çocuk babası olan Elvan, İngilizce ve Almanca bilmektedir.