1942 yılında Malatya'nın Doğanşehir ilçesine bağlı Elmalı Mahallesinde doğdu. İlkokulu Elmalı'da, ortaöğretimi ise Doğanşehir'de tamamladı. Askerlik görevi sonrası köyüne dönerek çiftçilik ve hayvancılıkla uğraştı.
1968 yılında Doğanşehir’e yerleşerek, burada ticaret ve hayvancılıkla uğraştı. 1972 yılında Milli Selamet Partisi’nin Doğanşehir’deki kuruculuğunu gerçekleştirdi ve ilçe başkanlığı görevini üstlendi. 1983 yılında Turgut Özal ile birlikte ANAP’ın kuruluşunda yer alarak, Doğanşehir ilçe teşkilatını kurdu ve ilçe başkanlığı görevini yürüttü. Özal’ın yaşamını yitirmesiyle bu görevi son buldu. 1984 yılında Doğanşehir Tavşantepe civarına çiftlik kurarak ticaret ve hayvancılıkla uğraşmaya başladı.
1985 yılında çocukları ile birlikte tekstil sektörüne faaliyete başladı. 2001 yılında AK Parti’nin kurulmasıyla ilçe teşkilatını oluşturarak ilçe başkanlığı görevini yürüttü. Çeşitli sağlık ocakları ve okulların yapımını sağladı. Tekstil alanında LCW’nin kuruluşunu sağladı ve ortakları arasına girdi. Aile şirketi olan Küçükler Holding’in yönetim kurulu üyeliği görevini de sürdürüyor. Küçük, 30 Mart 2014 tarihinde yapılan yerel seçimlerde Doğanşehir Belediye başkanlığı görevini getirildi.
Vahap Küçük, evli ve 9 çocuk sahibidir.
31 Mart 2019 Yerel Seçimlerinde AK Parti'den Malatya İli, Doğanşehir İlçesi Belediye Başkan adayı oldu.
